ベイズ推定・統計の基本となる、ベイズの定理。
この定理、なんだかなじめないという人が、意外と多いんですよね。

Thomas Byayes 1702-1761

ベイズ推定・統計を使いこなす「ベイジアン」になるには、まず、このベイズ確率の基本となる、ベイズの定理を覚えなくてはいけません。

この定理の証明は、とても簡単です。
また、意味が分かれば、簡単に覚えてしまいます。

ここでは、そんなベイズの定理の証明を、誰でも分かるように、確率の基礎から丁寧に、解説をしていきます。

勉強ではなく、ゲームの解説でも聞くような気楽な気持ちで、楽しんで見て下さい（笑）

ベイズの定理

さて、まず最初にベイズの定理について、見てみましょう。

ベイズの定理

• P(A) : A が起きる確率
• P(B) : B が起きる確率（事前確率）
• P(A|B) : B の後でA が起きる確率（条件付き確率、尤度）
• P(B|A) : A の後でB が起きる確率（条件付き確率、事後確率）

さて、それではこれを簡単に解説をしていきます。
まずは、ベイズの定理の理解に必要な確率の基本を、簡単におさらいしましょう。

確率の基本

ベイズの定理は、覚え難そうに見えますが、確率の基本の乗法定理を組み合わせただけです。

まずは、乗法定理をしっかりと押さえておきましょう。

乗法定理（積の法則）

乗法定理を使う確率の問題は次の様なものがあります。

 

さて、この問題を見て分かるとおり、確率1/6 と 1/2のかけ算（乗法・積算）することで、確率が求められています。

でも、なぜ掛け算なんでしょうか？

これは、次の図を見れば分かります。

1回目で、確率1/6のものが、更に2回目で、その確率が半分（1/2）になるので、確率は1/12になります。

ここで、大事な事は、１回目に１、２回目に偶数という、二つの事象が同時に成り立つ確率は、それぞれの確率を掛け合わせればよいということです。

これを、「同時確率」といいいますが、確率の乗法定理は、この同時確率を、求めるための公式です。

さて、それでは次の問題を見てみましょう。

条件付確率：同時確率との関係

さて、このデータをもとに、次に来たお客様について考えてみましょう。

ニガイコーヒーとアマイーの両方を注文する確率は、一体、どれくらいでしょうか？

これは、さっきのサイコロと同じで、同時確率を求めれば、いいですよね。

1. ニガイコーヒーを注文する
2. アマイーを注文する

この２つの事象が同時に成り立つ時の確率です。

答えは、簡単ですね。

全体の300のうち、両方を注文したお客様は20名なので、BとAの同時確率は、20/300　= 1/15 です。

さて、ここからが、おもしろくなります（笑）

B と A の同時確率

 この同時確率は、次の2つを使って表現することができます。

1. 全体の中で、ニガイコーヒーを注文したお客様の確率　
2. ニガイコーヒーを注文したお客様で、アマイーを注文したお客様の確率

• まず、１番からです。
  お客様全員は300名で、その内、ニガイーコーヒーを注文したお客様は100名です。
  

  従って、確率は

• 続いて、２番です。
  ニガイコーヒーを注文したお客様が100名、その中でアマイーも注文したお客様は20名です。
  

  従って、確率は

この1番と2番を使って、同時確率（ニガイコーヒーとアマイーの両方を注文する確率）を求めると・・・

この100は、ニガイコーヒーを注文したお客様の数です。
一般化する為に、次の様に置き換えます 。

• アマイー を注文　⇒　 事象A
• ニガイーコーヒーを注文 　⇒　事象 B

 ニガイコーヒーを注文する確率
B が起こる確立
 P（B）

ニガイコーヒーを注文したという条件で、アマイーを注文する確率
B が起きた後で A が起きる確率（条件付き確率）
P(A|B)

同時確率は、これらを、掛け算すればよいので、次の様になります。

 ここで、先ほどの、ベイズの定理を、もう一度見てみてください。

この同時確率の式が、そのままベイズの定理の「分子」の部分であることが分かると思います。

さて、それでは、いよいよベイズの定理の証明にいきましょう。

ベイズの定理の証明

証明には、B と A の同時確率は、A と B の同時確率 から導きますが、これらは共に答えは同じです。

念の為、さっきの、ニガイコーヒー（B）と、アマイー（A）の例で見てみましょう。

A と B の同時確率

1.   全体の中で、アマイーを注文したお客様の確率
2.   アマイーを注文したお客様で、ニガイコーヒーを注文したお客様の確率

• まず、１番からです。
  お客様全員は、300名で、その内、アマイーを注文したお客様は40名です。
  

  従って、確率は

• 続いて、２番です。
  アマイーを注文したお客様は40名で、その中でニガイコーヒーを注文したお客様は20名です。
  

  従って、確率は

この1番と、2番を使って、同時確率（ニガイコーヒーとアマイーの両方を注文する確率）を求めると・・・ もう、お分かりですよね。

 この値は、さっきのB と A の同時確率の答えと同じですよね。

証明最終段階

さて、BとAの同時確率 ＝ AとBの同時確率 という事がはっきりとしました。

改めて、この２つの、同時確率の条件付き確率から求める式を見てみましょう。

• BとAの同時確率 ＝ B の後でAが起きる確率  ×  Bが起きる確率
• AとBの同時確率 ＝ A の後でB が起きる確率  ×  Aが起きる確率
  

左辺同士がイコールなので、右辺同士もイコールですよね。
これを、次の様に一般式で書きます。

• P(A) : A が起きる確率
• P(B) : B が起きる確率（事前確率と呼ぶ）
• P(A|B) : B の後でAが起きる確率（条件付き確率・尤度と呼ぶ）
• P(B|A) : A の後でB が起きる確率（条件付き確率・事後確率と呼ぶ）

お疲れ様でした、ベイズの定理の完成です！

ベイズの定理といっても、確率の乗法定理を組み合わせて、変形させただけなんです。

乗法定理の、同時確率が条件付き確率をかけて求めるというところが、分かっていれば、何ということはないですよね。

まとめ

ベイズの定理の証明

    同時確率と条件付き確率  

BとAの同時確率 ＝
B の後で A が起きる確率（条件付き確率） ×  Bが起きる確率

BとAの同時確率 ＝ AとBの同時確率

つまり・・・
B の後で A が起きる確率（条件付き確率） × Bが起きる確率は、
A の後で B が起きる確率（条件付き確率）× Aが起きる確率と同じ。

これを一般式にして、両辺をP(A)で割る

あとがき

ベイズ確率って、最近のトレンドの様に使われているので、少なくとも20世紀後半に誕生したのかと思っていました。

このベイズさんって、1702年生まれなんで驚きました。

実際に、ベイズ確率が広まったのは、その後、ラプラスによって18世紀後半から19世紀にかけてのようですね。

時代が、こう目まぐるしく変化し、次から次へと新製品が出てきたり、新しいシステムが出来たりすると、故障率や、何か経営戦略的な数値を出すのも、従来の頻度に頼る確率・統計では対応できないですよね。

このベイズの定理を元とした、ベイズ推定やベイズ統計などが、本当に今はメジャーですよね。

ベイズの定理については、他にも投稿があるので、よろしければそちらもご覧下さい。
⇒ベイズ推定！例題でモンティ・ホール問題を解いてみた

「 対数 」  どんなイメージがありますか？
指数は、まだ使うけど、対数って高校で習ったきり・・・という方が多いかもしれません。

大学や専門学校でも理数系や経済でないと、あまり使わないですよね。

「対数」というと、高校時代「公式」を覚えさせられて、何に必要なのかも分からず、試験問題の計算ばかりをやらせれていた・・・そんな感じですよね（笑）

とっつきにくい印象があります。

でも、対数って、意外にも、とても身近に使われているものもあります。

その代表が、地震の「マグニチュード」 です。
地震のエネルギーを、対数を使って表しています。

今回は、そんな対数について、公式や計算はもちろんですが、対数の意味についても、できるだけ、分かりやすく説明をしたいと思います。

指数と対数の関係

対数は分からなくても、指数は分かるという方は多いですよね。 例えば、10²（10の2乗）は、100ですよね。 実は、対数は、この指数の表し方を逆にしたものです。

具体的に、今の指数を例にとります。

これを、対数で表現すると・・・

 これを、一般式で書くと次のようになります。

   対数と指数の関係（一般式）      a : 底（てい）　 ｘ： 真数

何乗しているのか？を求めているのが、対数なんですね。
慣れるために、実際にいくつか、計算してみましょう。

練習問題

計算そのものは、「何乗しているか」を求めているだけです。

「何乗しているのか」を求める事に、何の意味があるのでしょう？

計算が出来るだけでなく、対数そのものの意味を、きちんと理解しておきたいですよね。

対数の意味

対数は、指数とセットで考えた方が、簡単に理解ができます。

指数は、とても便利ですよね。

例えば、100,000,000,000 なんていう数値を・・・

     「10¹¹ 」

10の11乗、たったこれだけで、表現できてしまいます。

この11というは、そのまま”桁”を表していますよね。
対数は、実は「桁」を求めていたんです。

例えば、10 と 1,000,000 という数字は、対数なら 1 と 6 で表現できてしまいます。

数値を扱う場合に、手頃な数字の置き換えられるので、対数はとても便利なんです。

1000000000000000000000000000000 なんていう数字を、そのまま使っていたら面倒ですよね（笑）

この様に、10を底とした対数は、普段使われる10進数では、桁を変えることになります。

2進数や、8進数などはコンピューター関係でなければ、あまり使うことは無いと思います。

10進数だけは、特別で「常用対数」（じょうようたいすう）と呼ばれています。

高校の時、常用対数表って使いましたよね
log₁₀2 や log₁₀3などは、暗記させられた人もいるかもしれません（笑）

 対数表が無くても、関数電卓があれば簡単に計算することが出来ます。

では、この常用対数、実際にどんなケースで使われるかというと、天文学や、それから冒頭にも述べた、地震のマグニチュードです。

こういったものは、大きな数値を取り扱うので、対数が無いと面倒なんですね。

さて、対数の意味が分かったところで、次に、対数の公式を見ていきましょう。

対数の公式

対数の公式ですが、次の公式があります。

a＞0、 a≠1、　M＞0、N＞0  の時、以下の公式が成り立つ

実際に例題を、解きながら覚えてしまいましょう。

練習問題

どうでしたか？
分かってしまえば、簡単なことですよね！

それでは、最後に簡単に、まとめます。

まとめ

    対数   

    対数の意味   

• 底（a）を10の場合、これを常用対数と呼ぶ。
• 10進数を扱っている場合には、対数は「桁」を意味する事となり。
  大きな値を使うのに便利
  例） 天文、地震(マグニチュード）など

    対数と指数の関係          対数の公式   

あとがき

「対数」高校時代は、あまり何とも思っていなかったんですけど、結構便利なんですよね。

計算そのものは、ExcelやProgramにさせるので、あまり手計算することの方が少ないかもしれません、計算するにしても関数電卓ですしね・・・（笑）

数学は、やはり「意味」がとても大事ですよね。

対数にしても、指数、それから三角関数などにしても、それが必要となる理由があって生まれています。

なぜそれが必要なのかがわかると、興味もわきます。

そして、数学の知識が無いと、読んでもチンプンカンプンっていう本は、結構ありますしね。
どうせ勉強するのなら、生きた知識を身につけたいですよね。

ロトやナンバーズ、今は色んな宝くじがあって、いつでも手軽に楽しめます。
でも、宝くじといえば、やはりジャンボ宝くじ！
これしか買わないという人もいますよね。

数年前までは、１等前後賞を合わせて、３億円だったのが、今は７億円ですよね。 期待も高まります（笑）

でも、ジャンボ宝くじって、一体どれくらい「期待」できるんでしょうか？

1等（5億円）は、1000万分の1で、6等が10分の1というだけでなく、確率でいう「期待値」を求めてみましょう。

この期待値、予測できないものの損得を考える上で、確率の上では非常に大事な事項です。

今回は、ジャンボ宝くじを通して、確立の期待値について、みていきたいと思います。

ジャンボ宝くじの賞金と確率

宝くじの枚数

確率を出す上で、まず大事なのは「宝くじの枚数」です。

ジャンボ宝くじでは、「〇〇〇組◇◇◇◇◇◇番」の様に組と番号で以下の様になっています。

• 組 ： 00 ～ 99
• 番 ： 100,000 ～ 199,999

つまり、ジャンボ宝くじは、1,000万枚をくじとして出しています。

この1,000万枚には、同一の「組＋番号」はありません。

でも、実際には、1,000万枚以上売られていますよね？

その場合には、このユニット（1,000万枚）を増やします。
ユニット内の「組＋番」は全く同じなので、例えば、２ユニット出した場合、同じ1,000万枚の「組＋番」が2つ出る事になります。

よく、「1等5億円 × 23本」といった宣伝がされていると思いますが、これは1,000万枚のユニットが23個売りに出されているという意味です。

1等は、1,000万枚に1枚しかないので、23ユニットなら、同じ「組＋番」が23枚あることになります。

当せん確率を見る場合には、常に枚数はユニットの1,000万枚だけを考えればいいことになります。

それでは、次に実際の賞金と確率について見て見ましょう。

ジャンボ宝くじの賞金と確率

平成26年度・第６６９回年末ジャンボ宝くじを例にとります。

さて、6等は、当せん確率10 %なので、10枚買えば1枚が当たる確立です。
1枚＝300円で販売されているので、3,000円払って、300円が当せんする確率ですね。

5等だと、当せん確率1 %なので、100枚買って1枚が当たる確立です。
300円 × 100枚 ＝ 3万円払って、5等 3,000円が1本と、6等 300円が10本なので、6,000円が当たる確立です。

いよいよ、次では、「期待値」を出してみましょう。

ジャンボ宝くじの期待値

まず、期待金額を計算します。

これが、このジャンボ宝くじを買った場合の、宝くじ券1枚の期待金額です。

期待金額とは、宝くじ一枚に対する、期待できる賞金の金額です。
賞金ごとに、それをもらえる確率をかけて足したものです。

期待値は、期待金額 ÷ 購入金額 で計算ができるので、次の様になります。

この数値は、かなり低いです。 一般的に、日本の公営の競馬などの期待値は、次の様に言われています。

• 競馬・競艇・競輪・オートレース　：　70 ~ 80 %
• パチンコ : 90 ~ 95 %

これらの数値の、100 % との差分が、運営側の取り分になります。

従って、競馬・競輪などでは20 ~ 30 %がJRAなど運営側の取り分です。
パチンコ屋さんでは、5 ~ 10 %が取り分になります。

宝くじは、半分は運営側に持っていかれてしまう計算です。

あまりにも低い期待値です、やはり夢を買う感じなのでしょうね。
期待金額（期待値）は、賞金が高ければ高いほどあがります。

例で示した、年末ジャンボより賞金が低ければ、当然、期待金額（期待値）は下がります。

仮に、1等賞金が3億円だったとしましょう。

そうすると、さっきの、計算式で1等賞金の期待金額、50円が、30円になります。
全体では、20円低くなるので、期待金額は、130円（129.99円）になります。

期待値は、期待金額130円 ÷ 購入金額 300円 × 100 ≒ 43 %
一気に、7 % も DOWNです（笑）

また、宝くじは、この様に、1等や前後賞などが突出して高いので、他が低くても、まだ期待値としては、そこそこです。

ためしに、1等や前後賞を省いて計算してみて下さい。
どれほどかが分かります（笑）

 やはり、宝くじは、楽しみながら・・・という程度にとどめたほうが良いでしょう。

まとめ

ジャンボ宝くじの期待値

     期待金額   
宝くじ一枚に対して、期待できる賞金の金額 賞金ごとに、それをもらえる確率をかけて足したもの

ジャンボ宝くじでは、約150円が期待金額
※この金額は、平成26年度 年末ジャンボ宝くじの場合

    期待値     期待金額を、購入金額で割ったものに、×100して、％表記したもの

ジャンボ宝くじでは、約50 %が期待値
※この期待値は、平成26年度 年末ジャンボ宝くじの場合

あとがき

「やはり」という感じの結果が出ましたね。

運営サイドを弁護するわけではないのですが、これでも1等賞金を上げているので、昔よりは期待値は上がっています。

やっと50 %まできたという感じですね。

ちなみに、宝くじの売上げは、約半分は当せん者への支払い、そして10 %が経費。

残りの40 %は、各都道府県の公共事業に使われます。

当たれば嬉しいですし、外れても世の中の為に使われるのですから、社会貢献になります。
とても、よいことだと思いますよ。

フェルミ推定や、仮説思考などが、今ビジネスでも、大流行ですね。
書店にいっても、そういった類の本が、いっぱい並んでいます。

色んな情報にあふれている今、単なる過去の統計やデータだけでは、判断材料と出来ず、そういった推定をしていく能力が、求められているんでしょうね。

そんな中でも、ベイズ推定 今、ちょっと確率の世界では話題です。

今回は、ベイズ推定にについて、例題と共に、お伝えしたいと思います。

ベイズの定理

まず、ベイズの定理について見て見ましょう。

    ベイズの定理    

• P(A) 　 :　 A が起きる確率
• P(B) 　 ：　B が起きる確率（事前確率と呼ぶ）
• P(A|B) : 　B が起きた後で、A が起きる確率（条件付き確率、尤度と呼ぶ）
• P(B|A) : 　A が起きた後で、B が起きる確率（条件付き確率、事後確率と呼ぶ）

なんだか、これでは意味がさっぱりわかりませんよね？（笑）

こういう公式だとか定理は、例題を解いて試してみないと、大概よくわかりません。
例題を解いてみましょう。

ベイズ推定で、必ず出てくるのがこの問題です。
「モンティ・ホール問題」

これは、アメリカのクイズ番組で実際にあったようです。
モンティ・ホールというのは、そのクイズ番組の司会者の名前です。

この問題、一見、ドア① か ドア③ の2択なので、確率1/2で、同じなんじゃないの？？って思ってしまいます。

ところが、違うんです。
いきなり、ベイズの定理の公式に当てはめるのではなく、解いてみましょう。

モンティホール問題の解

まず、最初に、ドア①を選んだ時に、豪華賞品に当たる確率はどうか？
これは、簡単ですね。

この通り、3つあるケースの内の1つなので、確率1/3です。
ドア②でも、③であっても、同じで確率1/3です。

さて、問題はここでモンティが空のドア②を、開けることです。
こ の確率1/3が、一体どの様に変化するのか？

まずドア① に豪華賞品 があったと仮定します。

【仮定1】 ドア① に豪華賞品がある場合

モンティは、ドア② と ドア③ のどちらも開けることができます。
つまり、ドア② を開ける確率は 1/2 です。

従って、ドア① に豪華賞品があって、ドア②を開ける確率は・・・
1/2 × 1/3 ＝ 1/6  です。

続いて、ドア③ に豪華賞品があったと仮定します。

（仮定2）ドア③ に豪華賞品がある 場合

モンティは、ドア② しか開けることができません。
つまり、ドア② を開ける確率は100％で1/1 です。

従って、ドア③ に豪華賞品があって、ドア②を開ける確率は・・・
1/1 × 1/3 = 1/3 です。

確率に、「2倍」もの差があるということです。
つまり、参加者は、選択を変えた方が、2倍も賞品が当たる確率が増えるんですね。

さて、では次に、ベイズの定理を使って解いていきましょう。
そして、実際の「条件付の確率」を出します。

ベイズの定理での解

モンティによってドア②が開放されて、空だということが判明した後に、
ドア①を選ぶか、ドア③を選ぶかです。

求める確率は、次の2点になります。

1. ドア②が開いた後に、ドア①に豪華賞品がある確率
2. ドア②が開いた後に、ドア③に豪華賞品がある確率

では、まず仮定1のケースから見ていきます。

ドア①の場合

P(B|A) ： ドア②が開いた後に、ドア①に豪華賞品がある確率
P(A)　   ： ドア②が開く確率
P(B)  　 ： ドア①に豪華賞品がある確率 （事前確率）
P(A|B)  ： ドア①に豪華賞品があった場合に、ドア②を開く確率（条件確率）

P(A) は、以下の様に求められます。

P(B)は、3つあるケースの内の1つですから、1/3 です。

P(A|B)は、これは、先ほど計算した、1/2 です。

これらを計算します。
P(B|A) ＝　P(A|B) × P(B) / P(A) P(B|A)
　　　　  ＝ （1/2） × （1/3） / （1/2）
  ＝  1/3

次に、仮定2 のケースです。

ドア③の場合

P(B|A) ： ドア②が開いた後に、ドア③に豪華賞品がある確率 （条件確率）
P(A)　 ： ドア②が開く確率
P(B)　 ： ドア③に豪華賞品がある確率（事前確率）
P(A|B) ： ドア③に豪華賞品があった場合に、ドア②を開く確率

P(A)は先ほどと同じ1/2

P(B)も、同じ1/3

P(A|B)は、1/1 （100％）

これらを計算します。
P(B|A) ＝　P(A|B) × P(B) / P(A) P(B|A)
＝ （1/1） × （1/3） / （1/2）
＝ 2/3

結果

 条件確率がそれぞれ求められました。

ドア① に豪華賞品がある確率は、1/3
ドア③ に豪華賞品がある確率は、2/3

その他の解法

ベイズ推定なので、あえてベイズの定理で計算しましたが、この問題実はもっと簡単に解けます（笑）

それが、次の方法です。

豪華賞品のある確率は、各ドアとも1/3 ずつです。
つまり、参加者が選んだ以外のドアは、2/3でした。

その内の、一つが無くなったので、選んだドアが1/3、そうでないほうが2/3です。

直感的に、分かりづらいかもしれませんね（笑）

その場合には、ドアの数を増やせば、納得がいきます。

ドアが1000個あった場合に、選んだドア以外から、モンティが、998個の空のドアを開けたとします。

残った２つのうち、どっちに豪華賞品がある確率が高いかは、直感的に分かりますよね。

あとがき

確率は、本当面白いですよね。
数学の中でも、結構実用的なものだと思います。

確率の本って、本格的なものだと集合の記号とかで、全然身近じゃないんですよね・・・

ましてや、ベイズ確率となると、ベイズ統計やベイズフィルターなど、本格的に、それで仕事をする人や大学で学ぶ人の本しかないですよね。

これって、一般の確率（頻度確率）と同じように、普段の生活で使えると思うんですよね。 受験や、コンピューターといったものでなく、もっと身近なものを扱った本が増えたらなぁ～と思うんですけどね。

また、こういった話題は、ちょこちょことお届けしたいと思います。

ちなみに、ベイズ定理は確率の基本から簡単に導き出せます。
別の投稿で出していますので、よければそちらも、ご覧下さい。
⇒ ベイズの定理の証明！？意外と簡単な確率の計算でした！