ベイズ推定！例題でモンティ・ホール問題を解いてみた

フェルミ推定や、仮説思考などが、今ビジネスでも、大流行ですね。
書店にいっても、そういった類の本が、いっぱい並んでいます。

色んな情報にあふれている今、単なる過去の統計やデータだけでは、判断材料と出来ず、そういった推定をしていく能力が、求められているんでしょうね。

そんな中でも、ベイズ推定 今、ちょっと確率の世界では話題です。

今回は、ベイズ推定にについて、例題と共に、お伝えしたいと思います。

ベイズの定理

まず、ベイズの定理について見て見ましょう。

なんだか、これでは意味がさっぱりわかりませんよね？（笑）

こういう公式だとか定理は、例題を解いて試してみないと、大概よくわかりません。
例題を解いてみましょう。

ベイズ推定で、必ず出てくるのがこの問題です。
「モンティ・ホール問題」

これは、アメリカのクイズ番組で実際にあったようです。
モンティ・ホールというのは、そのクイズ番組の司会者の名前です。

この問題、一見、ドア① か ドア③ の2択なので、確率1/2で、同じなんじゃないの？？って思ってしまいます。

ところが、違うんです。
いきなり、ベイズの定理の公式に当てはめるのではなく、解いてみましょう。

モンティホール問題の解

まず、最初に、ドア①を選んだ時に、豪華賞品に当たる確率はどうか？
これは、簡単ですね。

この通り、3つあるケースの内の1つなので、確率1/3です。
ドア②でも、③であっても、同じで確率1/3です。

さて、問題はここでモンティが空のドア②を、開けることです。
こ の確率1/3が、一体どの様に変化するのか？

まずドア① に豪華賞品 があったと仮定します。

【仮定1】 ドア① に豪華賞品がある場合

モンティは、ドア② と ドア③ のどちらも開けることができます。
つまり、ドア② を開ける確率は 1/2 です。

従って、ドア① に豪華賞品があって、ドア②を開ける確率は・・・
1/2 × 1/3 ＝ 1/6  です。

続いて、ドア③ に豪華賞品があったと仮定します。

（仮定2）ドア③ に豪華賞品がある 場合

モンティは、ドア② しか開けることができません。
つまり、ドア② を開ける確率は100％で1/1 です。

従って、ドア③ に豪華賞品があって、ドア②を開ける確率は・・・
1/1 × 1/3 = 1/3 です。

確率に、「2倍」もの差があるということです。
つまり、参加者は、選択を変えた方が、2倍も賞品が当たる確率が増えるんですね。

さて、では次に、ベイズの定理を使って解いていきましょう。
そして、実際の「条件付の確率」を出します。

ベイズの定理での解

モンティによってドア②が開放されて、空だということが判明した後に、
ドア①を選ぶか、ドア③を選ぶかです。

求める確率は、次の2点になります。

1. ドア②が開いた後に、ドア①に豪華賞品がある確率
2. ドア②が開いた後に、ドア③に豪華賞品がある確率

では、まず仮定1のケースから見ていきます。

ドア①の場合

P(B|A) ： ドア②が開いた後に、ドア①に豪華賞品がある確率
P(A)　   ： ドア②が開く確率
P(B)  　 ： ドア①に豪華賞品がある確率 （事前確率）
P(A|B)  ： ドア①に豪華賞品があった場合に、ドア②を開く確率（条件確率）

P(A) は、以下の様に求められます。

P(B)は、3つあるケースの内の1つですから、1/3 です。

P(A|B)は、これは、先ほど計算した、1/2 です。

これらを計算します。
P(B|A) ＝　P(A|B) × P(B) / P(A) P(B|A)
　　　　  ＝ （1/2） × （1/3） / （1/2）
  ＝  1/3

次に、仮定2 のケースです。

ドア③の場合

P(B|A) ： ドア②が開いた後に、ドア③に豪華賞品がある確率 （条件確率）
P(A)　 ： ドア②が開く確率
P(B)　 ： ドア③に豪華賞品がある確率（事前確率）
P(A|B) ： ドア③に豪華賞品があった場合に、ドア②を開く確率

P(A)は先ほどと同じ1/2

P(B)も、同じ1/3

P(A|B)は、1/1 （100％）

これらを計算します。
P(B|A) ＝　P(A|B) × P(B) / P(A) P(B|A)
＝ （1/1） × （1/3） / （1/2）
＝ 2/3

結果

 条件確率がそれぞれ求められました。

ドア① に豪華賞品がある確率は、1/3
ドア③ に豪華賞品がある確率は、2/3

その他の解法

ベイズ推定なので、あえてベイズの定理で計算しましたが、この問題実はもっと簡単に解けます（笑）

それが、次の方法です。

あとがき

確率は、本当面白いですよね。
数学の中でも、結構実用的なものだと思います。

確率の本って、本格的なものだと集合の記号とかで、全然身近じゃないんですよね・・・

ましてや、ベイズ確率となると、ベイズ統計やベイズフィルターなど、本格的に、それで仕事をする人や大学で学ぶ人の本しかないですよね。

これって、一般の確率（頻度確率）と同じように、普段の生活で使えると思うんですよね。 受験や、コンピューターといったものでなく、もっと身近なものを扱った本が増えたらなぁ～と思うんですけどね。

また、こういった話題は、ちょこちょことお届けしたいと思います。

ちなみに、ベイズ定理は確率の基本から簡単に導き出せます。
別の投稿で出していますので、よければそちらも、ご覧下さい。
⇒ ベイズの定理の証明！？意外と簡単な確率の計算でした！