対数(log)の計算と公式!これでもうバッチリ!!

対数 」  どんなイメージがありますか?
 指数は、まだ使うけど、対数って高校で習ったきり・・・という方が多いかもしれません。
対数

大学や専門学校でも理数系や経済でないと、あまり使わないですよね。

「対数」というと、高校時代「公式」を覚えさせられて、何に必要なのかも分からず、試験問題の計算ばかりをやらせれていた・・・そんな感じですよね(笑)

とっつきにくい印象があります。

でも、対数って、意外にも、とても身近に使われているものもあります。

128725その代表が、地震の「マグニチュード」 です。
地震のエネルギーを、対数を使って表しています。

今回は、そんな対数について、公式や計算はもちろんですが、対数の意味についても、できるだけ、分かりやすく説明をしたいと思います。

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指数と対数の関係

対数は分からなくても、指数は分かるという方は多いですよね。 例えば、102(10の2乗)は、100ですよね。 実は、対数は、この指数の表し方を逆にしたものです。

具体的に、今の指数を例にとります。

102 = 100  

この式の意味は、 「10を2乗すると? 答えは 100

これを、対数で表現すると・・・

log10100 = 2 

この式の意味は、「 10を100にするには何乗?答えは2

 これを、一般式で書くと次のようになります。

   対数と指数の関係(一般式)     対数指数一般式 a : 底(てい)  x: 真数

133948 何乗しているのか?を求めているのが、対数なんですね。
慣れるために、実際にいくつか、計算してみましょう。

練習問題

問題

 対数問題1

解法

対数解法1

計算そのものは、「何乗しているか」を求めているだけです。129177

「何乗しているのか」を求める事に、何の意味があるのでしょう?
 
計算が出来るだけでなく、対数そのものの意味を、きちんと理解しておきたいですよね。

対数の意味

対数は、指数とセットで考えた方が、簡単に理解ができます。

指数は、とても便利ですよね。

例えば、100,000,000,000 なんていう数値を・・・

082059     「1011 」

10の11乗、たったこれだけで、表現できてしまいます。

この11というは、そのまま”桁”を表していますよね。
対数は、実は「桁」を求めていたんです。

例えば、10 と 1,000,000 という数字は、対数なら 1 と 6 で表現できてしまいます。

数値を扱う場合に、手頃な数字の置き換えられるので、対数はとても便利なんです。

1000000000000000000000000000000 なんていう数字を、そのまま使っていたら面倒ですよね(笑)

この様に、10を底とした対数は、普段使われる10進数では、桁を変えることになります。

2進数や、8進数などはコンピューター関係でなければ、あまり使うことは無いと思います。

12917510進数だけは、特別で常用対数」(じょうようたいすう)と呼ばれています。

高校の時、常用対数表って使いましたよね
 log102 や log103などは、暗記させられた人もいるかもしれません(笑)
 
 対数表が無くても、関数電卓があれば簡単に計算することが出来ます。

では、この常用対数、実際にどんなケースで使われるかというと、天文学や、それから冒頭にも述べた、地震のマグニチュードです。

こういったものは、大きな数値を取り扱うので、対数が無いと面倒なんですね。

ちなみに、地震のマグニチュードについては、別の記事で詳しく書いています。 よければ、そちらもご覧下さい ⇒ 地震の震度とマグニチュードの違い?単純明快に!

さて、対数の意味が分かったところで、次に、対数の公式を見ていきましょう。

対数の公式120591

対数の公式ですが、次の公式があります。

a>0、 a≠1、 M>0、N>0  の時、以下の公式が成り立つ 対数公式

実際に例題を、解きながら覚えてしまいましょう。

練習問題

問題

対数問題2

解法

対数解法公式1

138148 どうでしたか?
分かってしまえば、簡単なことですよね!

それでは、最後に簡単に、まとめます。

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まとめ081377

 
Check    対数   

    対数の意味   

  • 底(a)を10の場合、これを常用対数と呼ぶ。
  • 10進数を扱っている場合には、対数は「桁」を意味する事となり。
    大きな値を使うのに便利
    例) 天文、地震(マグニチュード)など

    対数と指数の関係     対数指数一般式     対数公式    対数公式

あとがき

「対数」高校時代は、あまり何とも思っていなかったんですけど、結構便利なんですよね。

084160計算そのものは、ExcelやProgramにさせるので、あまり手計算することの方が少ないかもしれません、計算するにしても関数電卓ですしね・・・(笑)

数学は、やはり「意味」がとても大事ですよね。

対数にしても、指数、それから三角関数などにしても、それが必要となる理由があって生まれています。

なぜそれが必要なのかがわかると、興味もわきます。

そして、数学の知識が無いと、読んでもチンプンカンプンっていう本は、結構ありますしね。
どうせ勉強するのなら、生きた知識を身につけたいですよね。

  

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「対数(log)の計算と公式!これでもうバッチリ!!」への3件のフィードバック

  1. loga-logb=loga/bは理解できます。では-logb/aが成り立つのか教えてください。宜しくおねがいします。

  2. 計算尺では常用対数をメモリにして、二個の物差しを作り、それをスライドさせて、足し算、引き算をしますが、これが掛け算、割り算になることを考えたのですね。
    自然数の物差しを二つ利用して、足し算、引き算出来ることはそれより前に知っていた。

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